„Na krzyż”, czyli metodyczny kryminał

Do napisania tego artykułu skłoniła mnie sytuacja, która przytrafiła mi się kilka miesięcy temu na korepetycjach z uczniem szóstej klasy szkoły podstawowej. W jego klasie niedawno wprowadzono ułamki i tematem, którym się zajmowaliśmy było porównywanie ich wartości. O ile porównanie dwóch ułamków o jednakowych licznikach lub mianownikach, wraz z interpretacją „życiową” i geometryczną, a także sformułowaniem skróconej zasady postępowania nie sprawiło mojemu uczniowi najmniejszych problemów, o tyle porównanie ułamków o różnych licznikach i mianownikach ujawniło pewne reakcje, które z punktu widzenia rozumienia matematyki są niepożądane. Poświęciłem temu zagadnieniu znaczny czas tamtych korepetycji.

Reakcja na tak postawiony problem była niestety zdeterminowana pewnym przedwczesnym „pójściem na skróty” podczas wprowadzania tego tematu na lekcji matematyki. Otóż powiedziano uczniom „na sucho”, że w sytuacji, gdy ułamki posiadają różne liczniki i mianowniki mnoży się „na krzyż” (licznik pierwszego przez mianownik drugiego i licznik drugiego przez mianownik pierwszego) i jeżeli pierwsza z liczb jest większa, to pierwszy ułamek jest większy, a jeżeli jest przeciwnie – drugi. Jest to oczywiście prawda (przyjmujemy dosyć naturalne dla tego zagadnienia założenie, że rozpatrujemy wyłącznie ułamki dodatnie), jednak „skrót” jakim się posłużono jest niedopuszczalny, przede wszystkim ze względu na nieuniknione w tej sytuacji wypaczenia w rozumieniu i postrzeganiu matematyki jako pewnej całości.

Jedyną prawidłową drogą prowadząca do skutecznego porównywania dwóch dodatnich ułamków o różnych licznikach i mianownikach wydaje się być wyłącznie sprowadzenie ich do wspólnego mianownika (lub licznika) i posłużenie się wypracowanym wcześniej schematem dotyczącym porównywania takich właśnie ułamków. Sformułowanie specyficznego algorytmu jest bowiem w tej sytuacji zwieńczeniem procesu myślowego polegającego na interpretacji relacji między takimi ułamkami i pewnego rodzaju wizualizacji geometrycznej.

Algorytm mnożenia na krzyż, choć niewątpliwie poprawny, wykracza poza aktualny poziom i program nauczania (szósta klasa szkoły podstawowej) i na tym etapie jest niemożliwy do uzasadnienia. Mnożenie na krzyż jest bowiem skróconym opisem obustronnego mnożenia nierówności przez mianowniki obu ułamków. Natychmiast pojawiają się pytania dotyczące zasadności takiego postępowania. Po pierwsze konieczne jest gruntowne rozumienie pojęcia nierówności. Po wtóre – co wydaje się być najistotniejsze – znajomość techniki obustronnego mnożenia. Działanie to samo w sobie jest oczywiście nieskomplikowane, jednak samo wykazanie poprawności jego zastosowania jest już warunkowane rozumieniem matematyki wykraczającym poza poziom szóstej klasy. Podanie wspomnianej techniki winno być poprzedzone wprowadzeniem równań i równań równoważnych (niewprowadzonych jeszcze w tej klasie). Metody tworzenia równań równoważnych i przejścia równoważne, standardowo wprowadzane są dopiero w pierwszej klasie gimnazjum. Kolejne uogólnienie dotyczyć powinno przejścia od równań do nierówności i omówienia implikacji, które są w tej sytuacji zachowane. Na miejscu byłoby również przynajmniej zasygnalizowanie pewnych komplikacji przy obustronnym mnożeniu, gdy mamy do czynienia z liczbami ujemnymi.

Posiadanie przez uczniów szóstej klasy takiej wiedzy i rozumienie matematyki na tak wysokim poziomie jest wykluczone, dlatego „suche” wprowadzenie algorytmu mnożenia na krzyż w tej sytuacji jest moim zdaniem, wspomnianym w tytule, „metodycznym kryminałem”. Uczeń tworzy sobie taki obraz matematyki, jaki jest mu ukazywany przez nauczyciela. W tej sytuacji mamy do czynienia z jakże częstą postawą „jest tak, bo tak powiedział nauczyciel”. W efekcie uczeń nie postrzega praw matematycznych jako pewnych logicznych konsekwencji praw bardziej ogólnych, a jedynie jako formułkę do pamięciowego nauczenia. Trudno tu więc mówić o jakimkolwiek rozumieniu matematyki i pozytywnym nastawieniu do jej poznawania.

Z analogicznymi algorytmami i skrótami myślowymi spotykamy się w matematyce niejednokrotnie. Przywołajmy choćby osławione „mnożenie na krzyż” w przypadku proporcji, czy „przenoszenie na drugą stronę” podczas rozwiązywania równań. Techniki te są oczywiście poprawne, dobrze uzasadnione i powinny być stosowane w toku rozwiązywania zadań i uczenia matematyki, jednak należy zdawać sobie sprawę z tego kiedy i wobec jakiego ucznia mogą być użyte. Zastosowanie ich winno być zwieńczeniem procesu wprowadzania danego zagadnienia, a nie manewrem , który go zastępuje. Krótkotrwały efekt bezbłędnego rozwiązywania zadań i pozornego rozumienia przez całą klasę jest oczywiście kuszący, jednak cena za niego może być bardzo wysoka i płacona (niestety przez uczniów) często do końca ich szkolnej edukacji.