Poziomy rozumienia pojęć matematycznych. Kontrola rozumienia pojęć

W styczniu zapowiadałem na Twitterze artykuł dotyczący strategii korepetycji z wymagającym dydaktycznie uczniem, w oparciu o Dyrszlagowską koncepcję poziomów rozumienia pojęć matematycznych. Od tego czasu minęły prawie dwa miesiące, jednak dzięki temu artykuł mogę opatrzyć komentarzem, że metoda (z 1974 roku!) działa. Poniżej przedstawiam fragment mojej pracy magisterskiej Kontrola rozumienia pojęcia granicy ciągu z wykorzystaniem platformy e-learningowej Moodle (Akademia Pedagogiczna, Kraków 2008). Opis zaproponowanych przez Zygfryda Dyrszlaga poziomów rozumienia pojęć znajduje się w drugiej części artykułu.

Matematyka w odróżnieniu od innych nauk charakteryzuje się tym, że dla poznania nowego pojęcia niezbędne jest opanowanie innych pojęć. Brak lub niewłaściwe rozumienie danego pojęcia może prowadzić do trudności w zdobywaniu nowej wiedzy lub wręcz uniemożliwić ten proces. Przykładem niech będzie pochodna funkcji. Niemożliwe jest zrozumienie tego pojęcia bez wcześniejszego opanowania pojęcia funkcji czy też granicy ciągu. Dlatego w matematyce, jak w żadnej chyba innej nauce, tak wielką rolę odgrywa właśnie kontrola rozumienia danego pojęcia. Okazuje się, że dla dobrego skontrolowania rozumienia pojęcia matematycznego przez ucznia potrzeba więcej niż tylko sprawdzenia znajomości definicji, czy rozwiązania zadania. W sposób naturalny powstaje pytanie: jakie warunki powinna spełniać kontrola rozumienia, by była pod względem dydaktycznym satysfakcjonująca? Z. Dyrszlag w publikacji Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym (Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1974) wyróżnia tutaj kilka cech charakterystycznych:

Cechy prawidłowej (dobrej) kontroli rozumienia pojęć

Po pierwsze stwierdza, że pytanie, zadanie czy polecenie nie powinno być wcześniej znane uczniowi, by wyeliminować czynnik pamięciowy. Autor uważa, że takie wymaganie wymusza rozumowanie i przestrukturowywanie wiedzy przez ucznia.

Kolejnym czynnikiem jest dla Dyrszlaga nowa struktura logiczno – gramatyczna postawionego uczniowi pytania. Sposób sformułowania pytania determinuje według autora początek, ale też nierzadko cały przebieg rozumowania. Zwrócić należy jednak uwagę na pewne niebezpieczeństwo związane z realizacją tego wymagania. Wobec zbyt dużego „skoku” od sformułowań znanych uczniowi do całkiem nowych pod tym względem odpowiedź ucznia może być „zdeterminowana czynnikami nieistotnymi dla pomiaru rozumienia.”

Dyrszlag postuluje również ograniczenie do niezbędnego minimum strony technicznej rozwiązania zadania.  Trudne techniki rachunkowe, skomplikowane konstrukcje czy rysunki, często niemające nic wspólnego z rozumieniem danego pojęcia, mogą według autora to rozumienie maskować.

Następną ważną w kontekście kontroli rozumienia pojęć kwestią jest zjawisko „uzyskiwania poprawnej odpowiedzi przypadkowo wskutek powierzchownie dokonanych analogii, sugestywnej terminologii (...), regularności i symetrii pewnych elementów. Wszystkie te czynniki zdaniem Dyrszlaga należy w maksymalnym stopniu wyeliminować.

Ostatnim prezentowanym tutaj czynnikiem jest niezbędność uzasadnień w sytuacji gdy pytanie skonstruowane jest w ten sposób, że poprawną odpowiedzią jest słowo „tak” lub „nie.” Autor zauważa, że trafna odpowiedź może „być uzyskana przez ucznia przypadkowo, co wypaczałoby sens samej kontroli.”

Sposoby kontrolowania rozumienia pojęcia dzieli w swojej pracy Z. Dyrszlag na kilkanaście klas. Podział ten jest swoistym rozwinięciem myśli zawartej wcześniej przez niego w opracowaniu O poziomach rozumienia pojęć matematycznych na przykładzie pojęcia liczb bliźniaczych (Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1972). Autor wyróżnia w niej cztery poziomy rozumienia pojęć matematycznych:

Poziomy rozumienia pojęć matematycznych - koncepcja Zygfryda Dyrszlaga

Pierwszy – definicyjny – charakteryzuje umiejętnością podawania definicji, wskazywania przykładów, kontrprzykładów itp.

Kolejny to poziom „lokalnej komplikacji”. Ktoś rozumie to pojęcie według Dyrszlaga jeśli potrafi podać przykłady i kontrprzykłady desygnatów pojęć ograniczonych dodatkowymi warunkami, a także „rozstrzygnąć czy tzw. obiekt graniczny jest, czy nie jest desygnatem pojęcia.”

Trzeci, to poziom uogólnienia. Rozumienie pojęcia na tym poziomie polega na „znajomości stosunków zachodzących między zakresem danego pojęcia, a zakresami pojęć bliskoznacznych, umiejętności dokonywania klasyfikacji, reakcji na mylne sugestie i tzw. „szum” informacyjny,” itp.

Ostatnim poziomem rozumienia jest rozumienie strukturalne. „Uczeń rozumie pojęcie na tym poziomie, jeśli spontanicznie zauważa on istotną matematycznie strukturalną analogię danego pojęcia z innym pojęciem.”

Typy kontroli rozumienia pojęć

W oparciu o wymienione poziomy proponuje Z. Dyrszlag (Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym) typy kontroli rozumienia pojęć, kładące główny nacisk na:

Tak więc kontrola rozumienia nie jest problemem łatwym. Złożoność samego procesu oraz mnogość czynników warunkujących prawidłowy jego przebieg zasadniczo wpływa na jego kształt, zdecydowanie wyróżniając kontrolę rozumienia pojęć matematycznych na tle kontroli pojęć innych dziedzin nauki. Sama kontrola pojęć matematycznych odgrywa w procesie dydaktycznym też dużo większą rolę niż w przypadku nauczania innych przedmiotów.